【クリエイターモード】テンプレートCompleteでスマホページのヘッダーにロゴを固定表示する方法はありますか。

CSSの追記で可能です。

ショップデザイン / テンプレート選択・編集 / クリエイターモード / 全ページ共通

「CSS」の末尾に下記を追記してください。

@media screen and (max-width: 768px) {
  header .header-logo a{
    position: fixed;
    top:20px;
    left: 55px;
    z-index:99999;
    touch-action: manipulation;
    user-select: none;
  }
}

ロゴの表示位置指定の数値

top:20px;
left: 55px;

こちらは、お好きな位置に変更してください。

＜表示例＞